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2-2.平均・分散・標準偏差

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平均・分散・標準偏差

平均

※\(x\)(測定値or階級値)、\(f\)(度数)
※\(p\)(相対度数)、\(p_n=\frac{f_n}{n}\)

全てのデータあり
\begin{align*}
\overline{X}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n x_i
\end{align*}
測定値・度数・相対度数あり(個々のデータなし)
\begin{align*}
\overline{X} = \frac{1}{N} (x_1×f_1+x_1×f_2+・・・x_m×f_m)\\
=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^m f_ix_i=\sum_{i=1}^m(\frac{f_i}{N})x_i=\sum_{i=1}^m p_ix_i
\end{align*}
階級・階級値・度数・相対度数あり(個々のデータ・測定値なし)
\begin{align*}
\overline{X} = \frac{1}{N} (x_1×f_1+x_1×f_2+・・・x_m×f_m)\\
=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^m f_ix_i=\sum_{i=1}^m(\frac{f_i}{N})x_i=\sum_{i=1}^m p_ix_i
\end{align*}

※近似値を求めるしかない。

確率変数Xの平均
\begin{align*}
E[X]=\sum_{i} p_ix_i\\
\end{align*}

\(x\)は実現値、\(p\)は実現値に対する確率を示す。
また\(E[X]\)は期待値ともよぶ。

確率変数Xの関数の平均
\begin{align*}
E[X^2]=\sum_{i} p_ix^2_i\\
※ φ(x)=x^2、φ(x_i)=x^2_i\\
E[φ(X)]=\sum_{i} p_iφ(x_i)・・・公式A\\
\end{align*}

分散

2乗しないと
\begin{align*}
a=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^n x_i – \frac{1}{N}\sum_{i=1}^n \overline{x}\\
=\overline{x} – \overline{x} = 0\\

\sum_{i=1}^n \overline{x} = n\overline{x}
\end{align*}

※結果が必ず0になってしまうため、使用できない。

全てのデータあり
\begin{align*} s^2 &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2 \\[5pt] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n({x_i}^2-2x_i\overline{x} +\overline{x}^2) \\[5pt] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}^2-2\overline{x}\underbrace{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i}_{=\overline{x}}+\frac{1}{n}\cdot n\overline{x}^2 \\[5pt] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}^2-2\overline{x}^2+\overline{x}^2 \\[5pt] &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}^2-\overline{x}^2 \end{align*}

数列の和の公式

\begin{align*}
\sum_{i=1}^{n} a = na
\end{align*}

(2) 測定値・度数・相対度数あり(個々のデータなし)

階級・階級値・度数・相対度数あり(個々のデータ・測定値なし)
\begin{align*}
& V_x=\frac{1}{N} \sum_{i=1}^n f_i (x_i-\overline{x})^2\\
& =\sum_{i=1}^n p_i (x_i-\overline{x})^2\\
\end{align*}
確率変数Xの分散
\begin{align*}
& V_x=\sum_{i} p_i (x_i-\overline{x})^2\\
\end{align*}
において、Nを∞に近づけると、
\(p_i\)は実測値\(x_i\)に対する確率に近づく。
\begin{align*}
& \overline{x}はE[X]=μに近づく\\
& V[X]=\sum_{i} p_i (x_i-μ)^2\\
& =E[(X-μ)^2]=σ^2\\
\end{align*}
確率変数Xの関数の平均 【公式A】より
\begin{align*}
& V[X]=E[X^2]-(E[X])^2 = E[X^2]-μ^2\\
\end{align*}
※証明
\begin{align*}
& V[X]=\sum_{i} p_i (x_i-μ)^2\\
& =\sum_{i} p_i (x^2_i-2μx_i+μ^2)\\
& =\sum_{i} p_i x^2_i-2μ\sum_{i} p_i x_i + μ^2\sum_{i} p_i)\\
& =E[X^2]-2μ^2+μ^2\\
& =E[X^2]-μ^2
\end{align*}
確率変数の関数の分散
\begin{align*}
& V[aX+b]=a^2V[X]
\end{align*}

標準偏差

標準偏差
\begin{align*}
& S_x=\sqrt{V_x}=\sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2}
\end{align*}

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