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2-5.相関係数

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相関係数

共分散

2変数の関係を測るために、相関係数を求めますが、相関係数を求めるためには共分散が必要となります。

共分散

xとyの共分散

\begin{align*}
s_{xy} &=\frac{1}{n}・\sum_{i=1}^n (x_i – \overline{x})(y_i – \overline{y})\\[5pt]
&=\overline{xy} – \overline{x}・\overline{y}\\[5pt]
\end{align*}

相関係数

相関係数は\(-1≦r≦1\)の値を取り、相関係数が\(1\)に近いほど強い相関関係にあり、右上がりの直線で表現されます。注意点として、強い相関が見られたとしても、第3の変数による影響である可能性もりますので、次に紹介する偏相関係数で確認する必要があります。

母集団の相関係数

相関係数

$$ρ = \frac{cov(X,Y)}{σ_X・σ_Y}$$

標本の相関係数

相関係数
\begin{align*}
r &=\frac{cov(x,y)}{σ_x・σ_y}\\[5pt]
&=\frac{\overline{xy} – \overline{x}・\overline{y}}{\sqrt{\overline{x^2} – \overline{x}^2}・\sqrt{\overline{y^2} – \overline{y}^2}}\\[5pt]
\end{align*}

回帰直線

回帰直線

\begin{align*}
y = \frac{Cov[X,Y]}{S_x^2}(x – \overline{x}) + \overline{y}
\end{align*}

偏相関係数

第3の変数\(x\)の影響を取り除く

偏相関係数

\begin{align*}
r(yz・x)\\[5pt]
&=\frac{r_{yz}-r_{xy}・r_{xz}}{\sqrt{1-r^2_{xy}}\sqrt{1-r^2_{xz}}}\\[5pt]
\end{align*}

動画で学ぶ

総務省統計局

第3章 データの分布と相関-第4回:相関図、相関係数

hepokikiさん

統計学「相関係数」Pearson Product moment Correlation Coefficient 1

統計学「相関係数」Pearson Product moment Correlation Coefficient 2

統計学「共分散」Covariance

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