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3-2.分布関数と確率密度関数

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分布関数と確率密度関数

離散型確率分布と連続型確率分布

離散型確率分布はサイコロの目のように、1、2、3と数字が連続していない(1.1や1.11などがない)場合で、連続型確率分布は、1から6までの乱数のように、離散型と違って、1.1や1.11など連続している場合である。離散型であるサイコロの目の場合、3が出る確率は1/6ように表すことができるが、連続型で3が出る確率は1/6ではない。3の直前には2.9999999・・・と無限に考えられるため1から6までに含まれる数値は無限にある。そのため、連続型で3が出る確率は、「1/∞=0」となる。

離散型確率分布

\begin{align*}
& P(X=x_i)=P(x_i)\\
& i=1,2・・・\\
\end{align*}

をXの確率分布という。

\begin{align*}
&\sum_{i=1}^∞ p(x_i)=1\\
& p(x_i)≧0, i=1,2・・・\\
\end{align*}

このPを離散型確率分布という。

連続型確率分布

微分・積分

分布関数と確率密度関数を理解するためには、高校数学で学習する不定積分と導関数の知識が必要である。計算式は一見複雑だが、それほど難しくない。

不定積分・導関数

不定積分

\begin{align*}
&\int x^n dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C\\
\end{align*}

導関数(ある関数を微分して得られた関数)

\begin{align*}
&x^n = n x^{n-1}\\
\end{align*}

分布関数と確率密度関数の関係

試験問題で与えられる次のような前提も理解する必要がある。

\(F(x) =\)
\begin{cases}
0 : x < 0 \\
x^2 : 0 ≦ x ≦ 1 \\
1 : x > 1 \\
\end{cases}
確率密度関数で表すと⇒
\(f(x) =\)
\begin{cases}
0 : x < 0 \\
2x : 0 ≦ x ≦ 1 \\
1 : x > 1 \\
\end{cases}

分布関数

サイコロを1回振った時にそれぞれの出る目の確率は\(\frac{1}{6}\)なので、次のようになる。

サイコロの出目が1以下である確率は\(\frac{1}{6}\)、2以下である確率は\(\frac{2}{6}\)、3以下である確率は\(\frac{3}{6}\)となり、これをまとめたものが次の表である。

累積相対度数と同じ考えである。これを踏まえると、分布関数を理解しやすい。

分布関数

確率変数\(X\)が\(X≦x\)になる確率

\begin{align*}
&F(x)=P(X ≦ x)
\end{align*}

グラフにすると次のようになる。

分布関数の性質

連続確率変数・離散確率変数共通

\begin{align*}
&0 ≦ F(x) ≦ 1\\
&\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)=1、\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)=0\\
&F(x)は単調非減少関数
\end{align*}

一様分布(離散確率変数)の分布関数と確率密度関数は次のようになる。

一方、連続確率変数の分布関数と確率密度関数は次のようになる。

確率密度関数

分布関数を微分すると確率密度関数になる。

確率密度関数の性質

連続確率変数・離散確率変数共通

\begin{align*}
&f(x) ≧ 0\\
&\\
&\int_{-∞}^∞ f(x) dx = 1 \\
\end{align*}

確率密度関数の計算式

期待値と分散の計算式

期待値の求め方

\begin{align*}
&E[X] = \int xf(x) dx\\
\end{align*}

分散の求め方

\begin{align*}
&σ^2 = \int (x-μ)^2 f(x) dx\\
&σ^2 = \int x^2 f(x) dx – μ^2\\
\end{align*}

中央値(第2四分位)

中央値(第2四分位)の求め方

\begin{align*}
&P(X ≦ x ) = \frac{1}{2}\\
&\int_a^b f(x) dx = \frac{1}{2}\\
\end{align*}

第1四分位の求め方

第1四分位の位置を\(t\)と置く。

\begin{align*}
&\int_a^t f(x) dx = \frac{1}{4}\\
\end{align*}

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