3-5.幾何分布

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幾何分布

幾何分布とは?

ベルヌーイ試行を、初めて成功するまで繰り返したときの試行回数Xの確率分布

幾何分布は、離散型確率分布の一種で、たとえば、サイコロの6が出るまで繰り返した場合の確率を求めるときなどに使う。

幾何分布の基本公式(1)

(1) 初めて成功する回数をxとし、初めて成功する確率\((X=x)\)

\[
P(X=x)=f(x)=p(1-p)^{x-1}\\
(x=1,2,3・・・)\\
\]

(2) 幾何分布の具体例

サイコロを振って6が出る確率は、\(\frac{1}{6}\)で、1回目と6回目で6が出る確率は、

\[
P(X=x)=f(x)=\frac{1}{6}・(1-\frac{1}{6})^{1-1}\\
=0.167\\
P(X=x)=f(x)=\frac{1}{6}・(1-\frac{1}{6})^{6-1}\\
=\frac{1}{6}・(\frac{5}{6})^5\\
=0.067
\]

幾何分布の基本公式(2)

平均(期待値)と分散

\[
E[X]=\frac{1}{p}\\
V[X]=\frac{1-p}{p^2}\\
\]

サイコロで6が出るまでに振る回数の期待値は?

\[
E[X]=\frac{1}{\frac{1}{6}}=6\\
\]

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