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3-9.t分布

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\(t\)分布とは

\(t\)分布とは?

データのサイズが小さい時に使う分布。小標本から母集団を推測するときに使用する。自由度が大きくなるほど標準正規分布の確率密度関数に近づく。

\(t\)分布の用途

母平均の推定(母分散が未知)

\(t\)分布

標準正規分布

$$z=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{σ}{\sqrt{n}}}$$

自由度\((n-1)\)の\(t\)分布

\(σ\)を標本標準偏差\(s\)に置き換える
$$t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{s}{\sqrt{n}}}$$
の従う分布は自由度\((n-1)\)の\(t\)分布となる。

\(t\)分布の期待値と分散

$$E[t]=0 m≧2$$
$$V[t]=\frac{m}{m-2} m>2$$
※\(m\)は自由度

母平均の区間推定(母分散が未知)

$$\overline{x}-t_\frac{α}{2}(n-1)・{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}≦μ≦\overline{x}+t_\frac{α}{2}(n-1)・{\sqrt{\frac{s^2}{n}}}$$

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