4-2.母平均の点推定

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母平均の点推定
(point estimation)

母平均の点推定とは

母集団から抽出された標本を活用し、母数(\(θ\))を推定値(\(\hat{θ}\))で推測すること。ここでは母平均の点推定を扱う。
母数は、母集団を特徴づけるパラメータのことで、母平均、母分散、母標準偏差、母比率などがある。

母平均の点推定のポイント

標本平均(\(\bar{x}\))は標本数(\(n\))が大きいほど母平均(\(μ\))に近づく(大数の法則)。

推定量の基準の一つである不偏性は、期待値E[\(\hat{θ}\)]=0と常に母数に等しくなる性質で、標本数(\(n\))に依存しない。

平均の不偏推定量
\begin{align*}
& E[\bar{x}]=μ
& V[\bar{x}]=\frac{σ^2}{n}
\end{align*}
分散の不偏推定量
\begin{align*}
& \hat{σ}^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2
\end{align*}

点推定の具体例

標本を大きさの順に並べ替える順序統計量において、両端の数値を除いて残りを平均する刈込み平均があり、フィギュアスケートの採点で利用されている。

一致性と不偏性

標本数が大きくなれば、推定量が母数に近づくことを一致性といい、この推定量を一致推定量をいう。一方、推定量の期待値が常に母数に等しくなることを不偏性といい、この性質をもつ推定量を不偏推定量という。一致推定量は\(n\)の大きさに依存するが、不偏推定量は依存しない点が違いである。

標準誤差

(standard error of mean)標準誤差は、推計値が真の値からどのくらい乖離しているかを表す数値で、推定量の標準偏差である。

標本平均の標準偏差
\begin{align*}
& \sqrt{\frac{σ^2}{n}}
\end{align*}
標準誤差
\begin{align*}
& SE=\frac{s}{\sqrt{n}}
\end{align*}

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hepokikiさんの解説

統計学「不偏推定量」Unbiased Estimator

統計学「母分散の不偏推定量の証明1」Proof of Unbiased Estimator of Population Variance 1

統計学「母分散の不偏推定量の証明2」Proof of Unbiased Estimator of Population Variance 2

統計学「母分散の不偏推定量の証明3」Proof of Unbiased Estimator of Population Variance 3

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