4-4.母平均の区間推定(母分散未知)

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母平均の区間推定(母分散未知)

1標本問題

●母分散が分からない場合、標本平均\(\overline{x}\)を標本から計算し、不偏分散\(S^2\)を次の式で求める

$$S^2 = \frac{1}{n – 1} \sum_{i = 1}^n {(x_i – \overline{x})^2}$$

●自由度\(n-1\)の\(t\)分布

$$t=\frac{\overline{x}-μ}{\frac{\hat{σ}}{\sqrt{n}}}$$

●100(1-α)%信頼区間の式
$$\overline{x}-t_{\frac{σ}{2}}(n-1)・\frac{σ}{\sqrt{n}}≦μ≦\overline{x}+t_{\frac{σ}{2}}(n-1)・\frac{σ}{\sqrt{n}}$$
※1.96の部分を、\(t\)分布のパーセント点から探し、差し替える。
※\(t\)分布のパーセント点から、\(n\)が大きいほど1.96に近づくことがわかる。

2標本問題

母分散が未知で等しい場合

$$t=\frac{d-δ}{\sqrt{\frac{1}{m}+\frac{1}{n}}\hat{σ}}~t(m+n-2)$$
プールした分散(併合した分散)
$$\hat{σ}^2=\frac{\sum {(x_i – \overline{x})^2}+\sum {(y_i – \overline{y})^2}}{m+n-2}$$

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